martes, 20 de julio de 2010

impulso y cantidad de movimiento

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Colisiones

Durante un choque actúa una fuerza relativamente grande sobre las partículas que impactan, aunque solo lo hacen durante un intervalo de tiempo más o menos pequeño. Básicamente en una colisión el movimiento de las partículas que chocan (o,por lo menos, el de una de ellas) cambia en forma muy brusca y que podemos establecer una separación bastante definida entre los tiempos que transcurren "antes de la colisión" y los que lo hacen "después de ella".

Por ejemplo, cuando un bate golpea una pelota de béisbol, el principio y el fin de la colisión puede determinarse con muy buena precisión. El bate está en contacto con la pelota durante un intervalo de tiempo que es muy pequeño comparado con el tiempo en que la pelota esta en el aire. Durante la colisión el bate le aplica una gran fuerza a la pelota. Esta fuerza varía con el tiempo en una forma tan completa que solo puede medirse con dificultad. Tanto la pelota como el bate se desforman durante la colisión.

En las colisiones se verifica el principio de acción y reacción, es decir si el bate le aplica una fuerza a la pelota, la pelota reacciona con una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario, aunque en realidad es indistinto cual es la fuerza de acción y cual la de reacción, podemos decir si la pelota le aplica una fuerza al bate, el bate reacciona con una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario. En el caso de las colisiones estas fuerzas actúan durante lapso de tiempo muy pequeño y se denominan fuerzas instantáneas o impulsivas.

Cuando dos electrones "chocan" la fuerza que actúa entre ambos puede ser conocida fuerza electrostática de repulsión que está asociada con la carga de las partículas. Puede ser que las partículas no se toquen, pero aún así, podemos hablar de una colisión, porque una fuerza relativamente grande que actúa durante un tiempo que se considera pequeño comparado con el tiempo en que las partículas están en observación, tiene un gran efecto en el movimiento de los electrones.

Cuando un protón (H¹ o p) de 25 MeV de energía (1 MeV = 6,242.1012 J), "choca" con un núcleo de un isótopo de la plata (Ag107), las partículas pueden realmente "tocarse" ya que, en éste caso, la fuerza predominante que actúa entre ellas no es la fuerza electrostática repulsiva, si no la fuerza nuclear atractiva que es intensa y de corto alcance. El protón puede penetrar en el núcleo de la plata para formar una estructura compuesta, después de un tiempo pequeño -el "intervalo de la colisión" puede ser de 1018 segundos- la estructura compuesta puede separarse en dos partículas diferentes según un esquema tal como:

p + Ag107 ® α + Pd104

En el que α = He4 es una partícula alfa. En consecuencia el concepto de colisión puede aplicarse para que incluya eventos (que generalmente se llaman reacciones) en los que cambian las identidades de las partículas que interaccionan. Los principios de conservación son aplicables a todos estos ejemplos.

Si se desea, la definición de una colisión puede ampliarse aún más para incluir en ella a la desintegración espontánea de una partícula en dos o más partículas distintas. Un ejemplo de esto es la desintegración de una partícula elemental, llamada la partícula sigma, en otras dos partículas, el pión y el neutrón según el esquema:

∑ ® π - + n

Aunque en éste proceso no ocurre que dos cuerpos lleguen a estar en contacto (a menos que se le considere en sentido inverso) tiene muchas características en común con las colisiones, a saber:

1 - Hay una distinción clara entre "antes del suceso" y "después de suceso".

2 - Las leyes de la conservación del ímpetu y de la energía proporcionan mucha información relacionada con éste tipo de proceso, estudiando las situaciones "antes" y "después", aún cuando se sepa poco sobre las leyes de las fuerzas que operan durante el "evento" mismo.
El Impulso y la Cantidad de Movimiento

Supongamos que la figura 1 muestra la magnitud de la fuerza ejercida sobre un cuerpo durante una colisión. También supongamos que dicha fuerza tiene una dirección constante. La colisión comienza en el instante ti y termina en el tf, y la fuerza es nula antes y después del choque. El cambio de la cantidad de movimiento o ímpetu dp de un cuerpo, en el intervalo de tiempo dt durante el cual ha estado actuando una fuerza F sobre él puede escribirse como:
dp = F.dt

El cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo durante una colisión, puede obtenerse integrando sobre el tiempo que dura dicha colisión, es decir:

Impulso y Cantidad de Movimiento

Impulso y Cantidad de Movimiento

Figura 1: La figura muestra como puede variar con el tiempo una fuerza instantánea durante una colisión que comienza en el tiempo ti y finaliza en el timpo tf.

La integral de una fuerza sobre el intervalo de tiempo en que actúa se llama impulso I de la fuerza. Por lo tanto el cambio de la cantidad de movimiento p de un cuerpo movido por una fuerza impulsiva, es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

Para el impulso:

I = F.t

siendo:

I: impulso [I] = kg.m/s

para la cantidad de movimiento:

p = m.v

siendo:

p: cantidad de movimiento [p] =kg.m/s
Conservación de la Cantidad de Movimiento Durante las Colisiones

Conservación de la Cantidad de Movimiento

Considerando ahora una colisión entre dos partículas, tales como las de las masa m1 y m2 (figura 2), durante la breve colisión, las partículas ejercen fuerzas internas entre sí. En cualquier instante F12 es la fuerza ejercida la partícula 2 sobre la partícula 1 y F21 es la fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2. Por la tercera ley de Newton, estas fuerzas son, en cualquier instante, de igual magnitud pero de sentido contrario (acción y reacción).

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 1 como resultado del choque es:

Impulso y Cantidad de Movimiento

En donde F12m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt = tf - ti que dura la colisión.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 2 como resultado del choque es:

Impulso y Cantidad de Movimiento

En donde F21m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt = tf - ti que dura la colisión.

Si sobre las partículas no actúan otras fuerza, el cambio total en la cantidad de movimiento de cada una de ellas es Δp1 y Δp2. Pero hemos visto que en cada instante, F12 = -F21, de modo que F12m = - F21my, por lo tanto:

Δp1 = - Δp2

Si consideramos que las dos partículas forman un sistema aislado, la cantidad de movimiento total del sistema es:

P = p1 + p2

Y el cambio total en la cantidad de movimiento del sistema provocado por la colisión es cero, o sea que:

ΔP = p1 + p2 = 0

Por lo tanto si no hay fuerzas externas, la colisión no altera la cantidad de movimiento total del sistema. Las fuerzas impulsivas que actúan durante la colisión son fuerzas internas que no producen ningún efecto sobre la cantidad de movimiento total del sistema.

Conservación de la Cantidad de Movimiento

Figura 3: Durante la colisión la fuerza impulsiva Fi es generalmente mucho mayor que cualquiera de la fuerzas externas Fe que pueden estar actuando sobre el sistema.

Se ha definido un choque como una interacción que tiene lugar en un tiempo Δ que es despreciable comparado con el tiempo durante el cual se observa el sistema. También podemos caracterizar a una colisión como un suceso en el que
las fuerzas externas que pueden estar actuando sobre el sistema sean despreciables comparadas con las fuerzas impulsivas de la colisión.
Cuando un bate golpea a una pelota de béisbol también actúan fuerzas externas sobre el sistema, por ejemplo la gravedad o la fuerza rozamiento del aire. Estas fuerzas externas pueden no ser las mismas para todos los cuerpos que intervengan en la colisión ni tienen que ser necesariamente equilibradas por otras fuerzas externas. Aún así las fuerzas externas pueden ignorarse, sin mucho riesgo, durante la colisión y se puede suponer la validez de la conservación de la cantidad de movimiento, ya que, como sucede casi siempre, las fuerzas externas son despreciables comparadas con las fuerzas impulsivas de la colisión. De esto resulta que durante una colisión, el cambio en la cantidad de movimiento de una partícula, proveniente de una fuerza externa, es despreciable comparado con el cambio en la cantidad de movimiento de dicha partícula debido a la fuerza impulsiva de la colisión (figura 3).

Por ejemplo, cuando un bate golpea a una pelota de béisbol, la colisión solo dura una pequeña fracción de segundo. Como el cambio en la cantidad de movimiento es grande y el tiempo de la colisión es pequeño, resulta que la fuerza impulsiva promedio Fm es relativamente grande, comparada con ésta,la fuerza de la gravedad es despreciable. Al determina el cambio del movimiento de la pelota, durante la colisión,podemos ignorar, sin riesgo alguno, a esta fuerza externa. Mientras menor sea la duración del choque mejor será el resultado obtenido.

Por lo tanto, en la práctica podemos aplicar el principio de la conservación de la cantidad de movimiento durante las colisiones, con tal de que el tiempo que dura la colisión sea suficientemente pequeño. Entonces podemos decir que la cantidad de movimiento de un sistema de partículas justo antes de que choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema inmediatamente después de que ello ocurra.
Las Colisiones en una Dimensión

Los movimientos de los cuerpos después de una colisión pueden calcularse siempre, a partir de sus movimientos anteriores a la misma, si se conoce la fuerza que actúa durante ella y si se pueden resolver las ecuaciones de movimiento. A menudo estas fuerzas no se conocen. Sin embargo, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe ser válido durante la colisión. Sabemos también que el principio de la conservación de la energía es válido. Aunque no conozcamos los detalles de la interacción, en muchos casos podemos utilizarlo para predecir los resultados de la colisión.

Por lo común, las colisiones se clasifican según que se conserve o no la energía cinética durante el choque. Cuando la energía cinética se conserva, se dice que la colisión es elástica. En caso contrario, se dice que la colisión es inelástica. Las colisiones entre las partículas atómicas, nucleares y fundamentales algunas veces son elásticas (pero no siempre). En realidad, estas son las únicas colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Las colisiones entre cuerpos grandes siempre tienen algún grado de inelasticidad. Sin embargo a menudo podemos tratar a dichas colisiones como si fuesen aproximadamente elástica, como sucede, por ejemplo, en las colisiones entre bolas de marfil o de vidrio. Cuando dos cuerpos se adhieren juntándose después de una colisión, se dice que tal colisión es completamente inelástica. El término completamente inelástico no significa que se pierda toda la energía cinética; como vemos, más bien significa que la pérdida de ella es tan grande como lo pueda permitir el principio de la conservación de la cantidad de movimiento.

Aún cuando se desconozcan las fuerzas de la colisión podemos encontrar los movimientos de las partículas después de que ocurra, a partir de sus movimientos antes de la misma, siempre que la colisión sea completamente inelástica, o cuando la colisión sea elástica y en una dimensión. En una colisión unidimensional, el movimiento relativo después de una colisión está sobre la misma línea recta que el movimiento relativo antes de que ocurriera. Por el momento nos restringiremos al movimiento en una sola dimensión.

Colisiones en una Dimensión

Colisiones en una Dimensión

Consideremos primero una colisión elástica en una dimensión. Podemos imaginar a dos esferas lisas que inicialmente se mueven sin girar a lo largo de la línea que une a sus centros, después chocan frontalmente y, pasando la colisión, se mueven sin girar sobre la misma línea recta (figura 4). Durante la colisión, estos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fuerzas que están sobre la línea inicial del movimiento, de manera que el movimiento final también ocurre sobre dicha línea.

Sean m1 y m2 las masas de las esferas, v1i y v2i las componentes de sus velocidades (escalares) antes de la colisión y v1f y v2f las mismas después de la colisión. La dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad es hacia la derecha. Supongamos, a no ser que se especifique de otra forma, que las velocidades de las partículas que chocan no son tan grandes como para requerir del uso de las expresiones relativistas de la cantidad de movimiento y de la energía cinética. Entonces, por la conservación de la cantidad de movimiento tenemos que:

m1.v1i + m2.v2i = m1.vif + m2.v2f

Como la colisión es elástica, la energía cinética se conserva por definición, de modo que tenemos:

m1.v1i ²/2 + m2.v2i ²/2 = m1.vif ²/2 + m2.v2f ²/2

Está claro, desde luego, que si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las velocidades finales v1iy v2i a partir de estas dos ecuaciones. La ecuación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:

m1.(v1i - v1f) = m2.(v2f - v2i) (1)

y la de la energía cinética como:

m1.(v1i ² - v1f ²) = m2.(v2f ² - v2i ²) (2)

Haciendo (2) dividido (1) y suponiendo que v2f ≠ v2i y v1f ≠ v1i obtenemos:

v1i + v1f = v2f + v2i

y, después de un reajuste:

v1i - v2i = v2f - v1f (3)

Lo que indica que, en una colisión elástica en una dimensión, la velocidad relativa de acercamiento antes de la colisión es igual a la velocidad relativa de alejamiento luego de la misma.
Casos Particulares

Hay varios casos de interés específico.

1 - Las partículas que chocan tienen la misma masa, es decir:

m1 = m2

Entonces resulta:

v1f = v2i y v2f = v1i

En una colisión elástica unidimensional de dos partículas de igual masa, las partículas tan sólo intercambian sus velocidades durante la colisión.

2 - Una de las partículas está en reposo, por ejemplo:

v2i = 0

Entonces resulta:

V1f = (m1 - m2).v1i/(m1 + m2)

V2f = 2.m1.v1i/(m1 + m2)

3 - Las partículas que chocan tienen la misma masa y una de ellas está inicialmente en reposo:

m1 = m2

v2i = 0

Entonces resulta:

v1f = 0 y v2f = v1i

La primera partícula se detiene mientras que la segunda inicia su trayectoria con la misma velocidad que traía la primera. Es el caso de las bolas de billar.

4 - Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y una de ellas está inicialmente en reposo:

m1 <<< m2

v2i = 0

Tenemos:

v1f @ - v1i y v2f @ 0

La velocidad de la partícula ligera se invierte, aproximadamente, mientras que la partícula de mayor masa queda casi en reposo. Es el caso de una bola de billar que rebota contra la banda.

5 - Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y la más liviana está inicialmente en reposo:

m1 <<< m2

v1i = 0

Tenemos:

v1f @v1i y v2f @2.v1i

La velocidad de la partícula de mayor masa casi no es alterada por la colisión con la partícula ligera, pero la partícula ligera adquiere una velocidad aproximadamente del doble de la partícula pesada. Cuando una bola de bowlig pega contra un palo, el palo sale disparado.

Los neutrones producidos en un reactor, como producto de la fisión del uranio, se mueven con mucha velocidad y deben ser frenados para que puedan producir otras fisiones. Suponiendo que choquen elásticamente con los núcleos en reposo, ¿qué material habrá que elegir como moderador (es decir, para frenar) de los neutrones del reactor?.

Si los blancos estacionarios fuesen núcleos de gran masa, como los del plomo, los neutrones tan solo rebotarían con una velocidad casi igual a la inicial. Si no se frenan no hay fisión.

Si los blancos estacionarios fuesen núcleos más ligeros que el neutrón, como los electrones, su velocidad inicial casi no sería afectada por las colisiones. Por lo tanto no hay fisión.

Sin embargo, si los blancos estacionarios fuesen aproximadamente de la misma masa, los neutrones prácticamente quedarían en reposo si chocasen frontalmente con estos blancos. Por lo tanto el moderador más efectivo sería el hidrógeno, cuyo núcleo (el protón) tiene una masa muy parecida a la del neutrón.

6 - Si una colisión es inelástica, entonces, por definición,
no se conserva la energía cinética.
La energía cinética final puede tener un valor menor que el inicial y, en última instancia, la diferencia queda convertida, por ejemplo, en energía calorífica, o en energía potencial de la deformación en la colisión; también puede ocurrir que el valor final de la energía cinética sea superior al valor inicial, como sucede cuando se libera energía potencial en la colisión. En todo caso, la conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo válida, así como la conservación de la energía total.

7 - Consideremos ahora una colisión totalmente inelástica.
Las dos partículas se adhieren permaneciendo juntas después de la colisión, de manera que habrá una velocidad final común vf:

v1f = v2f = vf

No es necesario restringir la discusión al movimiento en una dimensión. Usando solamente el principio de conservación de la cantidad de movimiento encontramos que:

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf

Lo cual determina la velocidad final conociendo las velocidades iniciales.

http://www.slideshare.net/kurtmilach/conservacin-de-la-cantidad-de-movimiento

http://www.slideshare.net/kurtmilach/conservacin-de-la-cantidad-de-movimiento

algunos conceptos

Cantidad de movimiento

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante su definición como el producto de la masa de un cuerpo material por su velocidad, para luego analizar su  relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento.
No obstante, luego del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.
El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones.
Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.
Para abordar el tema con un enfoque más moderno primero se deben analizar las interacciones en sus diferentes manifestaciones de acuerdo a los modelos clásicos convencionales:
  • La primera, que resulta clásica en mecánica racional, es considerar el choque entre cuerpos materiales, aceptando implícitamente que entre ellos no hay fuerzas atractivas o repulsivas, siendo fortuito el encuentro. Aquí aparece la cuestión sobre choque elástico perfecto y choque plástico con pérdida de energía.
  • El siguiente tipo, campo-partícula sin pérdida de energía (choque elástico), resulta de considerar que cada partícula posee un campo asociado capaz de interactuar con la otra, modificando sus trayectorias, velocidades y energías. Un ejemplo típico es el estudio de fuerzas centrales en mecánica analítica.
    En este modelo se considera que los campos actúan instantáneamente, es decir a velocidad infinita, perdiendo su significado como ente físico real, para ser un formalismo auxiliar que simplifica su análisis. En esta categoría están la Ley de Coulomb y la Ley de gravitación universal de Newton.
  • El caso de interacción campo-partícula con pérdida de energía resulta más complejo pues aparece un tercer participante, un fotón con la energía disipada.
    Un ejemplo importante e ilustrativo que permite explicar el espectro continuo de emisión de rayos x, es el estudio de la radiación de frenado que ocurre con electrones rápidos obligados a cambiar bruscamente de dirección por acción del campo eléctrico de un  núcleo atómico, con pérdida de energía por emisión de radiación (fotón de radiación x).
  • La interacción radiación-materia es el caso más ilustrativo de la limitación de la definición usual de la cantidad de movimiento (p=mv). El efecto Compton, que ocurre entre fotones de rayos x o rayos gamma con electrones cuasi libres, es explicado convenientemente si el fotón posee una cantidad de movimiento cuyo módulo está dado por:
                     p=, siendo h la constante de Planck y v la frecuencia.
    El fotón y la partícula material modifican sus trayectorias, cantidades de movimiento y energías como resultado de una interacción.
Los cuatro casos descriptos tienen en común la transferencia de energía durante la interacción y/o cambios de dirección del movimiento. A los efectos de poder predecir las consecuencias de una interacción de acuerdo a lo mostrado por la experiencia, es necesario hacer extensivo el concepto de cantidad de movimiento a todos los entes físicos capaces de transferir energía, siendo una magnitud vectorial con dirección y sentido de la velocidad de la partícula y cuyo comportamiento responde a leyes de conservación.
Esta magnitud, que nos permitirá calcular el estado final de los participantes luego de una interacción, resulta ser:
  1. Para partículas masivas p=mv
  2. Para fotones en el vacío p=9c
Las leyes de conservación postuladas como Principios, necesarias para el análisis de las interacciones entre partículas en un sistema aislado (sin fuerzas exteriores), sean partículas masivas o no, son:
  1. El Principio de conservación de la energía
  2. El Principio de conservación de la cantidad de movimiento
  3. El Principio de conservación del momento angular 
La gran matemática Emmy Noether (1882-1935) demostró en 1915 que estos Principios son propiedades de leyes de simetría del espacio y el tiempo. Una demostración de estos "Principios" en el marco de la mecánica analítica puede verse en el libro 1 de Landau-Lifshitz "Curso abreviado de Física Teórica". Se demuestra que:
  1. La conservación de la energía sale de la uniformidad del tiempo.
  2. La conservación de la cantidad de movimiento es consecuencia de la homogeneidad del espacio.
  3. La conservación del momento angular resulta de la isotropía del espacio.
Vamos a dedicarle atención al de la conservación de la cantidad de movimiento.
En el apartado que sigue incorporo una demostración propia, válida para sistemas inerciales en el marco de la mecánica newtoniana.

Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista).

La isotropía y la homogeneidad espacial requieren que las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales sean lineales.
La uniformidad del tiempo y la suposición de que su evolución es la misma en todos los sistemas inerciales hace que la coordenada temporal sea absoluta.
Estas propiedades del espacio y el tiempo permiten deducir fácilmente las Transformaciones de Galileo. Veamos su desarrollo:
Sean dos sistemas inerciales O y O’ en movimiento relativo con velocidad V según el eje x, coincidentes en el instante t=0.
Las transformaciones lineales son
x’ = a1 x + a2 t           y’ = y            z’ = z
Consideremos un objeto en reposo en O en la coordenada x. Para cualquier observador de O’ el objeto se mueve con velocidad v’x’ = - VDerivando obtenemos:
v’x’ = - V = a1 vx + a2 = a2           a2 = -V
Consideremos ahora un objeto con velocidad V en O. Para el observador O’ el objeto está en reposo respecto de él.
Derivando obtenemos:
v’x’ = 0 = a1 vx + a2 = a1 V – V           a1 = 1
Reemplazando resultan las Transformaciones de Galileo
x’ = x - V t        y’ = y        z’ = z
Mostraremos ahora que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se obtiene como consecuencia de las Transformaciones de Galileo.
Estas transformaciones tienen una propiedad muy interesante: la diferencia de dos velocidades cualesquiera, sean de un objeto o de cuerpos diferentes y en el mismo instante o en instantes distintos, es la misma para todo observador inercial, es decir que es absoluta. Ello se debe a que las velocidades medidas por dos observadores inerciales están relacionadas por:
v’x’ = vx – V         v’y’ = vy         v’z’ = vz
Nótese que cuando se calcula la diferencia entre dos velocidades se simplifica la velocidad V, con lo cual se hace independiente de la velocidad relativa entre sistemas.
Ahora analicemos el caso de una interacción entre dos cuerpos.
Consideremos dos partículas (1 y 2) que interactúan. Midiendo su velocidad antes (a) y después (d) de la interacción podemos plantear las siguientes relaciones absolutas, válidas para las tres componentes:
v1d – v1a = cte = k1           v2a – v2d = cte = k2
Si las partículas son masivas, con masas m1 y m2 respectivamente, puede determinarse la relación k1 / k2 en concordancia con la definición de masa relativa de Mach (1838-1916).
Se define como masa inercial relativa entre dos partículas que interactúan, a la relación de los módulos de las aceleraciones medias sufridas en la interacción.
m21 = m2 / m1 = a1 / a2
Siendo la aceleración media la diferencia de velocidades dividida el tiempo de interacción, que es el mismo para ambas partículas, resulta:
m21 = m2 / m1 = a1 / a2 = Δv1 / Δv2 = k1 / k2
En consecuencia, reemplazando obtenemos el Principio de conservación de la cantidad de movimiento.
m1 v1a + m2 v2a = m1 v1d + m2 v2d
Nota:
Un aspecto interesante es que la demostración es aplicable a todo tipo de partículas, incluyendo aquellas cuya masa propia sea nula (fotones). Sin embargo, si consideramos válida la definición de masa dada por Mach, toda partícula con la capacidad de interactuar tiene masa asociada. Este hecho genera un nuevo dilema, pues en el caso de fotones se acepta que no son masivos (masa propia nula). Más adelante, en dinámica relativista, veremos que este tema admite distintos tratamientos y es actualmente un motivo de discusión. 

Conservación de la cantidad de movimiento en Relatividad Especial.
Masa relativista.

El Principio de Relatividad establece que las leyes válidas de la física deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz, esto es que conserven su forma en todo sistema inercial.
Las leyes describen comportamientos mediante ecuaciones que relacionan magnitudes, las cuales pueden tomar valores distintos respecto de diferentes sistemas, es decir ser relativas al sistema de referencia.
En consecuencia, el Principio de Relatividad nos brinda una herramienta muy importante para la formulación y/o verificación de leyes.
El procedimiento es el siguiente: definidas las magnitudes involucradas en una ley clásica, válida en un sistema inercial, se aplican las transformaciones de Lorentz y se determina cómo deben modificarse dichas magnitudes para que la ley conserve su forma. Luego, usando el Principio de Correspondencia, se verifica que la ley relativista se transforme en la clásica para c tendiendo a infinito.
Finalmente, se analiza la conveniencia que dicha formulación tiene frente a otras opciones posibles.
Puede suceder que existan diferentes opciones para obtener una dada ley. De hecho ese fue el caso cuando se intentó establecer le ley fundamental de la mecánica relativista. Einstein utilizó inicialmente la Ley de Newton expresada mediante F=ma.
La forma en que se transforman la Fuerza y la aceleración cuando se pasa de uno a otro sistema de referencia es diferente, y esa diferencia es distinta según se trate de las componentes paralelas a la velocidad relativa entre sistemas o transversales a ella. En consecuencia, si se pretende que la ley de Newton así expresada (F=ma) sea relativista, la masa debe tomar valores distintos según sea una dirección paralela a su velocidad o transversal a ella.
Esta  pérdida de isotropía de la masa no resultó “atractiva” conceptualmente, y se resolvió proponiendo F=dp/dt como ley de la mecánica, pues esta forma de expresar la Ley de Newton conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz, sin que la masa pierda su isotropía. 
Si aceptamos como definición de cantidad de movimiento p=mv, siendo m la masa, debemos determinar cómo se modifican las magnitudes involucradas para que la ley de conservación de la cantidad de movimiento sea válida en todos los sistemas de referencia inerciales.
La modificación de las velocidades ya fue resuelta con el teorema de adición de velocidades, por lo cual nos queda por determinar cómo debería modificarse la masa para que la Ley tenga la misma forma en todos los sistemas inerciales.   
Existen diversas maneras de encarar el tema. La mayoría (sino todos) de los enfoques existentes en la extensa bibliografía sobre Relatividad Especial lo analizan mediante choque entre dos partículas, ya sea elástico con cambio de dirección o inelástico. Al respecto, desarrollé una demostración que se distingue por su simpleza y porque no requiere choque entre partículas. Veamos su desarrollo:
Dos partículas idénticas se mueven según muestra el esquema. Por isotropía espacial sus masas deben ser iguales.
En estas condiciones el centro de masa del sistema permanece en reposo y su cantidad de movimiento es nula. Al sistema de referencia en el cual el centro de masa está en reposo se lo denomina Sistema de centro de masa (o inercia).
Dado que es un planteo unidimensional (x;x’) no indicaremos los subíndices de los ejes.
Para otro observador que se mueva con velocidad V = v, la partícula 1 está en reposo y el centro de masa posee una velocidad v’CM = -v. A este sistema de referencia en el cual una partícula está en reposo se lo denomina Sistema de Laboratorio.
La cantidad de movimiento en el Sistema de Laboratorio es:
 
Siendo m’ la masa de la partícula 2, con velocidad v’2 y m0 la masa de la partícula 1, en reposo. Aquí la condición de simetría no corresponde pues las partículas tienen distinto estado de movimiento.
Despejando obtenemos:
 
Aplicando las transformaciones de las velocidades podemos calcular v’2
 
Resolviendo esta ecuación algebraica podemos hallar v’CM en función de v’2. Por tratarse de una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones, pero una sola con significado físico (pues v'CM < v'2 ). Con la condición de que el módulo de la velocidad del centro de masa debe ser menor que el de la velocidad de la partícula 2, obtenemos:
Reemplazando en la expresión de la masa y operando obtenemos:
 
Siendo m0 la masa de la partícula 1, en reposo, y m’ la masa de la partícula 2 en movimiento.
Dado que las partículas son idénticas en reposo, podemos generalizar la expresión anterior y aplicarla para una partícula en movimiento.
Esta masa variable con la velocidad, junto al Principio de Equivalencia entre masa y energía, dieron lugar a la definición de masa relativista. Volveremos a tratar el tema luego del estudio sobre energía relativista.
Es muy importante destacar dos cosas:
  1. En la expresión anterior no aparece explícitamente la velocidad relativa entre sistemas de referencia.
    La masa relativista expresa el valor de la masa en función de la velocidad que posee respecto de cada observador inercial. La inercia de un cuerpo material es relativa al observador y depende de su velocidad.
  2. Hemos supuesto que la masa propia de la partícula m0 es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial. Ello no es arbitrario pues si así no fuera los sistemas inerciales no serían equivalentes ya que habría una forma de distinguirlos.
Operando la última expresión y usando la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv), obtenemos:
 
Siendo m la masa relativista y m0 la masa en reposo que, rigurosamente, debería llamarse masa propia.
La formulación de la Relatividad en un espacio de 4 dimensiones (Minkowski, 1864-1909) dio lugar, en los últimos 20 años, a que especialistas reconocidos tuvieran extensas, caprichosas e innecesarias discusiones, sobre la conveniencia o no de utilizar la masa relativista.
En el caso en que se quiera evitar el uso de masa relativista debe redefinirse la cantidad de movimiento (ver la expresión siguiente).
Finalmente llegamos a la conclusión que la cantidad de movimiento es válida en el marco de la Relatividad Especial si en cualquier sistema de referencia inercial queda determinada por la relación: 
Siendo m0 la masa en reposo y v la velocidad de la partícula en dicho sistema.
Esta definición de cantidad de movimiento es compatible con p=mv sólo si aceptamos que la masa varía con la velocidad. Por ello resulta conveniente, cuando se traten relaciones o leyes que involucren a la masa, indicar a la masa en reposo con el subíndice 0.
En este Curso utilizaremos m en el sentido de masa relativista y m0 para la masa en reposo, manteniendo la definición “newtoniana” de la cantidad de movimiento.
Luego de este análisis es fácil mostrar para una interacción entre dos partículas en un sistema aislado, que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales

Problemas propuestos

Problema n° 1) Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?.

Desarrollo

Datos:
m = 0,15 kg
vi = 40 m/s
vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)
t = 5 ms = 0,005 s
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
F = m.(vf - vi)/t
F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s
F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s
F = -
  Problema n° 2) Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?.

Desarrollo

Datos:
m = 0,2 kg
F = 50 N
t = 0,01 s
vi = 0 m/s
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
m.(vf - vi) = F.t
vf - vi = F.t/m
vf = F.t/m
vf = 50 N.0,01 s/0,2 kg
vf = 2,5 m/s
3000 N

Problema n° 3) Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?.

Desarrollo

Datos:
m = 10 kg
vi = 0 m/s
Fi = 0 N
Ff = 50 N
t = 4 s
Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto:
F = (Ff + Fi)/2
F = (50 N + 0 N)/2
F = 25 N
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
m.(vf - vi) = F.t
vf - vi = F.t/m
vf = F.t/m
vf = 25 N.4 s/10 kg
vf = 10 m/s

Problema n° 4) Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm ³/s, si la densidad del agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?.

Desarrollo

Datos:
Φ V = 300 cm ³/s (caudal volumétrico)
vi = 5 m/s
vf = 0 m/s (porque el chorro no rebota)
Δ = 1 g/cm ³
primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de acción:
Φ M = Φ V. Δ
ΦM = 300 cm ³/s.1 g/cm ³
ΦM = 300 g/s (caudal másico)
Φ M = 0,3 kg/s éste dato nos dice que en t = 1 s la masa de agua es m = 0,3 kg
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
F = m.(vf - vi)/t
F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 s
F = 1,5N
http://www.fisicapractica.com/impulso-cantidad-movimiento.php

domingo, 4 de julio de 2010

UPC 2008 - Fisica - Impulso y Cantidad de Movimiento

Segunda ley de Newton

Impulso y momentum

Experimento Educativo: Centro de masa

CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y SU CONSERVACIÓN

Los conceptos básicos de cantidad de movimiento, impulso, teorema del impulso y la cantidad de movimiento, la nueva definción de fuerza, la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado, se presentan aquí con otros conceptos relacionados en los siguientes mapas (o más bien, organizadores) conceptuales:























algunos conceptos y teorias de algunos teoristas

Acción y reacción. Conservación del momento

La aportación conceptual más novedosa de la mecánica newtoniana a las ciencias físicas fue el principio de acción y reacción. Esta idea, que no ha perdido actualidad con el progreso científico, permitió avanzar hacia modelos globales basados en principios de conservación de las entidades físicas esenciales.

Principio de acción y reacción

La ley de acción y reacción enunciada por Isaac Newton se aplica a parejas de objetos materiales que interaccionan entre sí y se formula diciendo que si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, este segundo ejerce a su vez sobre A una fuerza igual y de sentido contrario a la anterior.
Los cuerpos A y B ejercen mutuamente fuerzas iguales y de sentido contrario entre sí.
Conviene advertir que estas fuerzas de acción y reacción nunca dan lugar a un equilibrio o compensación dinámica, ya que siempre actúan sobre cuerpos diferentes.
La ley de acción y reacción se expresa matemáticamente como:

Fuerza resultante

Cuando sobre un mismo cuerpo material actúan varias fuerzas simultáneas, se observa como efecto una única fuerza llamada resultante, que se calcula como la suma vectorial de todas las fuerzas individualesparticipantes.
En los cuerpos en reposo confluyen siempre conjuntos de fuerzas que se compensan mutuamente, con lo que la resultante final es nula.
Resultante de un conjunto de fuerzas, obtenida como una suma vectorial.

Fuerzas impulsivas

En la mecánica de Newton se llama fuerza impulsiva a la que se aplica sobre un cuerpo de masa m durante un breve periodo de tiempo Dt. En estas fuerzas se define una magnitud vectorial llamada impulso como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo transcurrido.

Cantidad de movimiento

Si a la definición de impulso de una fuerza se le aplica la ley fundamental de Newton para la dinámica (ver t5), se obtiene que:
De este modo, el impulso de una fuerza puede definirse como la variación de una cantidad igual al producto de la masa por la velocidad del cuerpo. Este producto se denomina cantidad de movimiento o momento lineal, y se expresa como:

Conservación de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es un concepto fundamental en la física moderna. En un sistema aislado, sobre el que no existen fuerzas externas aplicadas, la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante, aunque puede transmitirse de unas partículas a otras dentro del mismo.
Este principio de conservación de la cantidad de movimiento o del momento lineal es una consecuencia directa de la ley de acción y reacción, y se expresa como:
Fuerzas que actúan sobre dos masas m y m

La reacción al peso

El peso es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos situados en su superficie o sus proximidades. Por el principio de acción reacción, estos cuerpos deberían también atraer la Tierra, y así sucede, aunque la magnitud de estas fuerzas es insignificante comparada con la masa terrestre, a la que son incapaces de mover.

Vigencia de las leyes de Newton

La formulación de la teoría de la relatividad por Albert Einstein en el siglo XX puso de relieve muchas de las carencias de las leyes de Newton. Éstas se restringen a sistemas de referencia inerciales, un concepto que no tiene sentido para cuerpos o partículas que se mueven a grandes velocidades relativas (objetos cósmicos, partículas subatómicas en aceleradores de partículas, etc). No obstante, mantienen su vigencia en el estudio de los fenómenos cotidianos perceptibles en la superficie de la Tierra.

La mecánica después de Newton

Los trabajos de Newton hallaron notables continuadores en Jean d’Alembert, Leonhard Euler, DanielBernoulli o Joseph-Louis Lagrange, quienes, durante el siglo XVIII, desarrollaron la llamada mecánica racional y analítica en una de las etapas más fértiles y florecientes de esta área de la física.

El juego del billar

El principio de conservación de la cantidad de movimiento se observa en numerosos fenómenos cotidianos. Un problema clásico resuelto por este principio es el del juego de billar: al impulsar con el taco una bola, ésta adquiere una velocidad que transmite parcialmente a otra al golpearla. En esta colisión, llamada elástica considerando que no existe disipación de energía, se conserva el momento lineal.

mapa mental

Mapa Conceptual

Cantidadmov..png

Cantidad de movimiento parte 6 (www.cienciasuni.com)

Cantidad de movimiento parte 5 (www.cienciasuni.com)

Cantidad de movimiento parte 4 (www.cienciasuni.com)

Cantidad de movimiento parte 3 (www.cienciasuni.com)

Cantidad de movimiento parte 2 (www.cienciasuni.com)

Cantidad de movimiento parte 1 (www.cienciasuni.com)